Mas Del Metodo de transporte

El método de transporte es un problema  clásico dentro de la programación matemática; se analiza la manera de obtener el costo mínimo de transportar una serie de productos desde n fabricas, hasta m almacenes; cada envío tiene un costo particular que estará en función de la distancia, el tipo de carretera, la cantidad y otras variables.

Como siempre, se entiende mejor con un ejemplo:

La más famosa empresa dentro de las aulas universitarias, la empresa XXX, tiene tres fabricas donde manufactura su famosísimo producto P, con capacidades de producción de 25 (unidades por micronanosegundo, por segundo, hora, año... no importa, es lo mismo para todos), 25,10 y debe surtir a 4 almacenes con demandas de 20,15,20,5 (unidades por micronanosegundo, segundos.. o lo que sea, siempre y cuando se maneje la misma unidad temporal en todo el problema). Los costos de enviar desde cualquier fabrica a cualquier almacén se pueden ver en la tabla abajo.

Capacidad de Producción (u/t)
Fabrica 1	Fabrica 2	Fabrica 3
25	25	10

Demanda de los Almacenes (u/t)
Almacén 1	Almacén 2	Almacén 3	Almacén 4
20	15	20	5

Costo de Transporte desde la Fabrica i al almacén j
$/unid	Almacén 1	Almacén 2	Almacén 3	Almacén 4
Fabrica 1	2	2	0	4
Fabrica 2	5	9	8	3
Fabrica 3	6	4	3	2

Okay, Ahora la pregunta del millón es cuánto se debe enviar desde cada fabrica a cada almacén con el fin de obtener el mínimo costo.

Módelo Matemático:

Min Z = 2X₁₁ + 2X₁₂ +0X₁₃ +4X₁₄ +5X₂₁ +9X₂₂ +8X₂₃ +3X₂₄ +6X₃₁+4X₃₂ + 3X₃₃ +2X₂₄
            Sujeto a:

1. Satisfacer la demanda de los almacenes:
    X₁₁+X₂₁+X₃₁ >=  20
    X₁₂+X₂₂+X₃₂ >=  15
    X₁₃+X₂₃+X₃₃ >=  20
    X₁₄+X₂₄+X₃₄ >=  5

2. No sobrepasar la capacidad disponible de las fabricas    X₁₁+X₁₂+X₁₃+X₁₄ <=  25
    X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄ <=  25
    X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄ <=  10

3. Por supuesto la condición de no negatividad y todas las variables enteras.

Bueno, aquí la formulación es un poco diferente a como lo hicimos en los dos ejemplos anteriores. La idea aquí es la de tener dos matrices y dos vectores; una matriz se corresponderá con las variables de decisión, y la otra matriz con los costos. La primera la dejamos simplemente señalada, con algún formato para distinguirla, y la otra la digitamos. La celda objetivo será la suma del producto de cada una de las posiciones de cada matriz con su correspondiente en la otra; esto lo podemos hacer rápidamente con la función "sumaproducto" del Excel. Las restricciones estarán en las columnas de "Consumo" y de "entregado".

Las variables de decisión están en el rango [B4-E6]. La celda objetivo sería algo así como esto: = B4*B10+C4*C10+... pero eso sería muy largo. La manera corta es:=SUMAPRODUCTO(B4:E6,B10:E12). La cantidad entregada a cada almacén se ve en la fila 8. Por ejemplo para la celda B8, su fórmula es:=B4+B5+B6. La restricción de la capacidad de las fabricas la escribiremos en función del consumo en la columna G; por ejemplo para la celda G4:=B4+C4+D4+E4. Las restricciones las escribiremos en el cuadro de diálogo como lo entregado debe ser mayor o igual a lo requerido, y lo consumido debe ser menor igual que lo disponible, tal como se puede ver en la captura siguiente:

Las variables de decisión deben ser enteras. Luego de introducir los datos en éste cuadro de diálogo y de hacer click en resolver, se hallará la solución.

Nota: Muy tal vez, obtendrá que no encuentra una respuesta, esto depende de la configuración actual de su Solver, si es así, visite el apartado de Detalles del Solver.

Formulacion del Problema de Transporte

A modo de ejemplo, construyamos el modelo de programación lineal para el siguiente problema.
Ejemplo .
 Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la de-
manda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de
[kWh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30
millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende
de la distancia que deba recorrer la energía ³a. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario
desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar
los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.
Hacia
Desde Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4
Oferta
(Millones kWh)
Planta 1 8 6 10 9 35
Planta 2 9 12 13 7 50
Planta 3 14 9 16 5 40
Demanda
(Millones kWh)
45 20 30 30
En primer lugar debemos de¯nir las variables de decisión necesarias para representar las posibles
decisiones que puede tomar la empresa energética . En este caso, corresponde a la cantidad de
energía que se debe enviar desde cada planta a cada ciudad, luego para i = 1 : : : 3 y j = 1 : : : 4 :
xij = numero de millones de [kWh] producidos en la planta i enviadas a ciudad j
En términos de estas variables, el costo total de entregar energía a todas las ciudades es:
8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 (Costo de enviar energía desde la Planta 1)
+9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 (Costo de enviar energía desde la Planta 2)
+14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 (Costo de enviar energía desde la Planta 3)
El problema tiene dos tipos de restricciones. En primer lugar, la energía total suministrada por cada
planta no puede exceder su capacidad. En este caso se habla de restricciones de oferta o suministro.


Como existen tres puntos de oferta o sumistro, existen tres restricciones:
x11 + x12 + x13 + x14 · 35 (Restricción de oferta de la Planta 1)
x21 + x22 + x23 + x24 · 50 (Restricción de oferta de la Planta 2)
x31 + x32 + x33 + x34 · 40 (Restricción de oferta de la Planta 3)
En segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permitan asegurar que se satisfaga la
demanda en las cuatro ciudades. Así, las restricciones de demanda para cada punto de demanda
quedan:
x11 + x21 + x31 ¸ 45 (Restricción de demanda de la Ciudad 1)
x12 + x22 + x32 ¸ 20 (Restricción de demanda de la Ciudad 2)
x13 + x23 + x33 ¸ 30 (Restricción de demanda de la Ciudad 3)
x14 + x24 + x34 ¸ 30 (Restricción de demanda de la Ciudad 4)
Evidentemente, cada xij debe ser no negativo, por lo tanto se agregan las restricciones xij ¸ 0
donde i = 1 : : : 3 y j = 1 : : : 4. mías adelante demostraremos que la solución de este problema es
z = 1020, x12 = 10, x13 = 25, x21 = 45, x23 = 5, x32 = 10 y x34 = 30. El resto de las variables vale
cero.


 Formulación General
Un problema de transporte queda de¯nido por la siguiente información:
1. Un conjunto de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta si.
2. Un conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda
dj .
3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo
unitario de transporte cij
Consideremos:
xij = numero de unidades enviadas desde el punto de oferta i al punto de demanda j
2
Luego, la formulación general del problema de transporte queda:
Min Pi=m
i=1 Pj=n
j=1 cijxij
st
Pj=n
j=1 xij · si (i = 1 : : :m) (Restricciones de oferta)
Pi=m
i=1 xij ¸ dj (j = 1 : : : n) (Restricciones de demanda)
xij ¸ 0 (i = 1 : : :m; j = 1 : : : n) (Restricciones de signo)
Si se satisface:
i=m
Xi=1
si =
j=n
Xj=1
dj
se dice que el problema esta balanceado. En el caso del ejemplo anterior, se veri¯ca que tando la
suma de ofertas como las de las demandas es igual a 125. En el caso de un problema de transporte
balanceado todas las restricciones estarán al  permite, por lo tanto la formulación queda:
Min Pi=m
i=1 Pj=n
j=1 cijxij
st
Pj=n
j=1 xij = si (i = 1 : : :m) (Restricciones de oferta)
Pi=m
i=1 xij = dj (j = 1 : : : n) (Restricciones de demanda)
xij ¸ 0 (i = 1 : : :m; j = 1 : : : n) (Restricciones de signo)

Programación Lineal

La programación  lineal es actualmente la técnica matemática utilizada mas actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación.

Lo que se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima. Esto significa la búsqueda de un valor  máximo  cuando se trata de beneficios; o bien la búsqueda de un mínimo cuando se trata de esfuerzos a desarrollar. 

Un modelo de programación  lineal es un conjunto de expresiones matemáticas las cuales deben cumplir la característica de linealidad que puede cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas sean de primer grado. Además un modelo de P.L debe tener las propiedades de:

- Proporcionalidad

-Aditividad (adición)

-Divisibilidad

-Certidumbre(certeza)

  

Metodología

Metodología General
Imperfecto -->Modelo Perfecto -->Método de Solución -->Solución  --> Interpretación 


Metodología de solución

Solución Básica Factible  --> Optimización  --> Solución Óptima  -->Interpretación

Definición De Modelo De Transporte

El modelo de  transporte se define como una técnica que  determina un programa  de 
transporte de productos o mercancías desde unas fuentes hasta los diferentes destinos al
menor costo posible. También estudiaremos el problema del transbordo en el que entre fuentes y destinos,existen estaciones intermedias

Metodología de la Investigación de Operaciones.

El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases:

1.   Formulación y definición del problema.

2.   Construcción del modelo.

3.   Solución del modelo.

4.   Validación del modelo.

5.   Implementación de resultados.

Definición Investigación de Operaciones

Investigación de Operaciones o Investigación Operacional. Se puede definir de la siguiente manera: “La Investigación de Operaciones es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”.                                                  

Historia de la Investigación de Operaciones.

La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país.

            El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares).